Question

11．已知二次函数y=2x²-4mx+2m²+2m-1（m是常数）．
（1）若该二次函数图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
（2）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，得出△＞0，求出m的取值范围．
（2）利用顶点坐标公式（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）即可求出C点坐标．
（3）根据二、四象限的角平分线上点的特点是横纵坐标互为相反数，且互为相反数的两个数相加的零，得出m+2m-1=0，求出m的值．

解答 解（1）∵二次函数图象与x轴有两个不同交点，
∴△=b²-4ac＞0
∴16m²-8（2m²+2m-1）＞0
整理得：16m＜16
得：m＜1
∴m的取值范围：m＜1

（2）顶点坐标（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）
代入得：-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4m}{4}$=m，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{8（2m2+2m-1）-16{m}^{2}}{8}$=2m-1
∴顶点C的坐标（m，2m-1）

（3）∵二、四象限的角平分线上点的特点是横纵坐标互为相反数，
∴m+2m-1=0
解得：m=$\frac{1}{3}$
∴当m=$\frac{1}{3}$时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上．

点评 本题考查了二次函数与x轴交点个数与△的关系，考察了二次函数顶点坐标公式以及象限内点的特点．需注意在做题过程中加以理解应用．