Question

4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，BC=CD=6，AE=5，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析 过B作BN⊥DA交延长线于N，在DN延长线上截取NM=CE，则四边形DCBN是正方形，根据正方形的性质得到BC=BN，证得△BCE≌△BNM，根据全等三角形的性质得到BE=BM，∠1=∠2，于是推出∠ABM=45°，证得△ABE≌△ABM，根据全等三角形的性质得到AM=AE=5，设CE=MN=x，DE=6-x，AN=5-x，由勾股定理得到AD=$\sqrt{{5}^{2}-（6-x）^{2}}$=6-（5-x），解得：x=2或3，BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$或3$\sqrt{5}$，即可得到结论．

解答 解：过B作BN⊥DA交延长线于N，在DN延长线上截取NM=CE，
则四边形DCBN是正方形，
∴BC=BN，
在△BCE与△BNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BN}\\{∠C=∠BNM=90°}\\{CE=NM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BNM，
∴BE=BM，∠1=∠2，
∵∠1+∠EBN=90°，
∴∠2+∠EBN=90°，
∵∠EBA=45°，
∴∠ABM=45°，
在△ABE与△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BM}\\{∠EBA=∠MBA}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ABM，
∴AM=AE=5，
设CE=MN=x，DE=6-x，AN=5-x，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-（6-x）^{2}}$=6-（5-x），
解得：x=2或3，
∴BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$或3$\sqrt{5}$，
∴sin∠AEB=sin∠AMB=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，直角梯形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．