Question

3．如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A（2，m）、B（-1，-4）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b＞$\frac{k}{x}$．

Answer 1

分析 （1）把点B坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先求出直线与y轴的交点坐标，从而y轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可；
（3）找出直线在反比例函数图形的上方的自变量x的取值即可．

解答 解：（1）B（-1，-4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（-1）×（-4）=4，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点A（2，m）也在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{4}{2}$=2，
即A（2，2），
把点A（2，2），点B（-1，-4）代入一次函数y=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{-a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=2x-2；
故反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，一次函数得到解析式为y=2x-2；

（2）在y=2x-2中，当x=0时，得y=-2，
∴直线y=2x-2与y轴的交点为C（0，-2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×1=3；

（3）当-1＜x＜0或x＞2时，ax+b＞$\frac{k}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．