Question

如图，在正方形ABCD中，AB=1，以边AB为直径向正方形内作半圆，自点C、D分别作半圆的切线CE、DF，则线段EF的长为多少？

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：设AB中点为O，连接OC交BE于点G，在Rt△OBC中可求得OC，利用等积法可求得BG，则可求得BE的长，在Rt△ABE中可求得AE，过E作EH垂直AB交AB于点H，由条件可知△AHE∽△AEB，利用相似比可求得AH，利用对称性知EF=AB-2AH，可求出EF的长．

解答：解：设AB中点为O，连接OC，BE，相交于点G，
∵CB⊥AB，
∴BC为半圆切线，且CE为半圆切线，
∴OC⊥BE，BG=EG，
在Rt△OBC中，BC=1，OB=

1

2

AB=

1

2

，由勾股定理可求得OC=

5

2

，
利用等积法可得：OC•BG=BC•OB，即

5

2

×BG=1×

1

2

，
∴BG=

5

5

，BE=

2 5

5

，
∵AB为直径，
∴△AEB为直角三角形，AB=1，BE=

2 5

5

，由勾股定理可求得AE=

5

5

，
过E作EH⊥AB交AB于点H，则△AHE∽△AEB，
∴

AH

AE

=

AE

AB

，即

AH

5 5

=

5 5

1

，解得AH=

1

5

，
由对称性可知EF=AB-2AH=1-

2

5

=

3

5

．

点评：本题主要考查切线的性质及正方形性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质，利用条件求出EF到AB的距离即AH是解题的关键．