Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．

(1)求∠PAQ的度数．

(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．

Answer 1

【答案】(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2．

【解析】

（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；

（2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长．

(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，

∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，

∴AP＝PB，AQ＝CQ，

∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，

∵∠BAC＝80°，

∴∠B+∠C＝100°，

即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，

∴x＝20°，

∴∠PAQ＝20°；

(2)∵△APQ周长为12，

∴AQ+PQ+AP＝12，

∵AQ＝CQ，AP＝PB，

∴CQ+PQ+PB＝12，

即CQ+BQ+2PQ＝12，

BC+2PQ＝12，

∵BC＝8，

∴PQ＝2．