【题目】如图,抛物线与轴交于、两点,直线与轴交于点,与轴交于点.点是抛物线上一动点,过点作直线轴于点,交直线于点.设点的横坐标为.
求抛物线的解析式;
若点在轴上方的抛物线上,当时,求点的坐标;
若点’是点关于直线的对称点,当点’落在轴上时,请直接写出的值.
【答案】(1) ;(2)的坐标为或;(3)m的值为或或或.
【解析】
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到m的值.
解:∵抛物线与轴交于,两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为.
∵点的横坐标为,
∴,,.
∴,
.
由题意,,即:
①若,整理得:,
解得:或;
②若,整理得:,
解得:或.
由题意,的取值范围为:,故、这两个解均舍去.
∴或.
∴点的坐标为或.
假设存在.
作出示意图如下:
∵点、关于直线对称,
∴,,.
∵平行于轴,∴,
∴,∴,
∴,即四边形是菱形.
当四边形是菱形存在时,
由直线解析式,可得,,由勾股定理得.
过点作轴,交轴于点,易得,
∴,即,解得,
∴,又由可知:
∴.
①若,整理得:,解得或;
②若,整理得:,解得,.
由题意,的取值范围为:,故这个解舍去.
当四边形是菱形这一条件不存在时,
此时点横坐标为,,,三点重合与轴上,也符合题意,
∴,
综上所述,存在满足条件的的值为或或或.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数.
(2)若△APQ周长为12,BC长为8,求PQ的长.
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【题目】如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:BG∥CD;
(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
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【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积;
(3)若点P在x轴上方的抛物线上,满足S△PCD=S△BCD,求点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别是线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB=AC,从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,并给出证明,你选择的条件是___(只填写序号).
证明:
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【题目】如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC与AE交于于点P.
(1)求证:△ACE ≌ △BCD.
(2)求∠AOB的度数.
(3)连接OC,求证:OC平分∠AOD
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴相交于点A(﹣2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣4),BC与抛物线的对称轴相交于点D.
(1)求该抛物线的表达式,并直接写出点D的坐标;
(2)过点A作AE⊥AC交抛物线于点E,求点E的坐标.
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【题目】如图,直角坐标系中,一次函数的图像分别与,轴交于,两点,正比例函数的图像与交于点.
(1)求的值及的解析式;
(2)求的值;
(3)一次函数的图像为,且,,不能围成三角形,直接写出的值.
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