Question

如图，△ABC内接于☉O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是

BC

的中点，且AF交BC于E，AB=6，AC=8，则EF长为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接OF、BF，则∠BOF=2∠BAF=90°，可求得BF=5

2

，由角平分线的性质可知

AB

BE

=

AC

CE

，且BE+CE=10，可求得BE，由条件可证得△ABF∽△BEF，可得

AB

BE

=

BF

EF

，可求得EF．

解答：解：
连接OF、BF，
∵F是

BC

的中点，∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAE=45°，
∴∠BOF=2∠BAF=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，可求得BC=10，
∴OB=OF=5，
∴BF=5

2

，
又AE平分∠BAC，
∴

AB

BE

=

AC

CE

，
∴

BE

CE

=

6

8

=

3

4

，且BE+CE=10，
∴BE=

30

7

，
在△ABF和△BEF中
∠EBF=∠BAF=45°，∠AFB=∠BFE，
∴△ABF∽△BEF，
∴

AB

BE

=

BF

EF

，
即

6

30 7

=

5 2

EF

，
解得EF=

25 2

7

，
故答案为：

25 2

7

．

点评：本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，利用条件求得BE的长和证明△ABF∽△BEF是解题的关键．