Question

如图，在△ABC中，AC=BC，D为底边AB上一动点（不与A、B重合），AH⊥BC于点H，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）试求AH、DE、DF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点D在AB延长线上，其他条件不变，那么上面的结论还存在吗？说明你的理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）连接CD，可知S_△ADC+S_△BCD=S_△ABC，可找到DE、DF、AH之间的关系；
（2）连接CD，可知S_△ADC-S_△BCD=S_△ABC，从而可找到DE、DF、AH之间的关系．

解答：解：（1）连接CD，如图1，
∵AH⊥BC，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴S_△ADC=

1

2

AC•DE，S_△BCD=

1

2

BC•DF，S_△ABC=

1

2

BC•AH，
∵S_△ADC+S_△BCD=S_△ABC，
∴

1

2

AC•DE+

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AH，
即AC•DE+BC•DF=BC•AH，
∵AC=BC，
∴DE+DF=AH；
（2）不存在，其关系为DE-DF=AH，理由如下：
连接CD，如图2，
同理可得S_△ADC=

1

2

AC•DE，S_△BCD=

1

2

BC•DF，S_△ABC=

1

2

BC•AH，
∵S_△ADC-S_△BCD=S_△ABC，
∴∴

1

2

AC•DE-

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AH，
即AC•DE-BC•DF=BC•AH，
∵AC=BC，
∴DE-DF=AH．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，在解题时利用等积法找到线段之间的关系是解题的关键．