Question

15．关于x的方程kx²+（2k+1）x+k-1=0的根都是正整数，则k的值为0，1．

Answer 1

分析 分k=0和k≠0两种情况讨论．当k=0时，所给方程为x-1=0，有整数根x=1；当k≠0时，所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出k的值，然后用△＞0验证k是否符合题意即可．

解答 解：当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有正整数根为x=1；
当k≠0，△=（2k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=8k+1，
一元二次方程都是正整数根，则△必须为完全平方数，
当△=9，则k=1；
当△=4，则k=$\frac{3}{8}$，
当△=16时，k=$\frac{15}{8}$；
当△=0，则k=-$\frac{1}{8}$；
而x=$\frac{-（2k+1）±\sqrt{8k+1}}{2k}$，
当k=1，解得x=0或-3；
当k=$\frac{3}{8}$，解得x=-$\frac{1}{7}$或-$\frac{15}{7}$；
当k=$\frac{15}{8}$，解得x=$\frac{1}{5}$或-$\frac{7}{3}$；
当k=-$\frac{1}{8}$，
解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数．
∴当k为0、1关于x的方程kx²+（2k+1）x+k-1=0的根都是正整数．
故答案为：0，1．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分类讨论思想的运用以及一元二次方程都为整数根的必要条件就是判别式为完全平方数．