如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．分析 （1）把点A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-3（a≠0），求出a、b、c的值即可；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6-3t，根据勾股定理求出BC的长，过点Q作QH⊥AB于点H，由QH∥OC得出△BHQ∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例用t表示出HQ的长，由三角形的面积公式得出三角形的面积与t的函数关系式，根据二次函数的性质即可得出结论；
（3）分∠BPQ=90°与∠PQB=90°两种情况进行讨论．
解答 
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-3=0\\ 16a+4b-3=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{8}\\ b=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{3}{8}$x2-$\frac{3}{4}$x-3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6-3t，
∵由（1）知，抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x2-$\frac{3}{4}$x-3，
∴C（0，-3）．
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{{OB}^{2}+{OC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H，
∵QH∥OC，
∴△BHQ∽△BOC，
∴$\frac{HQ}{OC}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{HQ}{3}$=$\frac{t}{5}$，
∴HQ=$\frac{3}{5}$t，
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$PB•HQ=$\frac{1}{2}$（6-3t）•$\frac{3}{5}$t=-$\frac{9}{10}$t2+$\frac{9}{5}$t，
∴当t=-$\frac{\frac{9}{5}}{2×（-\frac{9}{10}）}$=1时，S最大=$\frac{（\frac{9}{5}）^{2}}{4×（-\frac{9}{10}）}$=$\frac{9}{10}$．
（3）存在．
如图2所示，当∠BPQ=90°时，此时△BPQ∽△BOC，
∵BQ=t，PB=6-3t，OB=4，OC=3，BC=5，
∴$\frac{BP}{OB}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{6-3t}{4}$=$\frac{t}{5}$，解得t=$\frac{30}{19}$（秒）；
如图3所示，当∠PQB=90°时，此时∠BPQ∽△BCO，
∵BQ=t，PB=6-3t，OB=4，OC=3，BC=5，
∴$\frac{BQ}{OB}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{6-3t}{5}$，解得t=$\frac{24}{17}$（秒）．
综上所述，当t=$\frac{30}{19}$秒或$\frac{24}{17}$秒时，以点P、B、Q构成的三角形与△BOC相似．
点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
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| A． | 扩大3倍 | B． | 缩小为原来的$\frac{1}{3}$ | C． | 都不变 | D． | 无法确定 |
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| x | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.4 |
| y | -0.69 | -0.36 | -0.01 | 0.35 |
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如图所示，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=$\frac{3}{x}$的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，-1＜x＜0或x＞3，则一次函数的解析式为y=x-2．查看答案和解析>>
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已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB=CE，AC=CD，BC=ED．探究AB与CD的位置关系，并证明．