Question

5．已知：点P是一次函数y=-3x+6图象在y右轴侧部分上的一个动点，将直线y=-$\frac{1}{2}$x沿y轴向上平移，分别交x轴，y轴于C、D两点．
（1）若△PCD是以CD为直角边的等腰直角三角形，求点P的坐标．
（2）若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先设直线y=-$\frac{1}{2}$x沿y轴向上平移后的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，则D（0，b）、C（2b，0）；然后根据△PCD是以CD为直角边的等腰直角三角形，可得PD⊥CD且PD=CD，据此求出点P的坐标是多少即可．
（2）首先设点P的坐标是（m，6-3m），根据以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，可得PD⊥CD，PD=2CD，或PD⊥CD，CD=2PD；然后分类讨论，求出点P的坐标是多少即可．

解答 解：（1）设直线y=-$\frac{1}{2}$x沿y轴向上平移后的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，
则D（0，b）、C（2b，0），
∵点P是一次函数y=-3x+6图象在y右轴侧部分上的一个动点，
∴设点P的坐标是（a，6-3a），
∵△PCD是以CD为直角边的等腰直角三角形，
∴PD⊥CD且PD=CD，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3a-b}{a}=2}\\{{a}^{2}{+（6-3a-b）}^{2}{=b}^{2}{+（2b）}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1.5}\\{b=-1.5}\end{array}\right.$
∴点P的坐标是（1，3）或（1.5，1.5）．

（2）设点P的坐标是（m，6-3m），
∵以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
∴PD⊥CD，PD=2CD，或PD⊥CD，CD=2PD，
①PD⊥CD，PD=2CD时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3m-b}{m}=2}\\{{{m}^{2}+（6-3m-b）}^{2}=4×{[b}^{2}{+（2b）}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{12}{11}}\\{b=\frac{6}{11}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（$\frac{12}{11}$，$\frac{30}{11}$）或（$\frac{4}{3}$，2）．
②PD⊥CD，CD=2PD时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3m-b}{m}=2}\\{{b}^{2}{+（2b）}^{2}=4{[m}^{2}{+（6-3m-b）}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{6}{7}}\\{b=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（$\frac{6}{7}$，$\frac{24}{7}$）或（2，0）．
综上，可得
点P的坐标是（$\frac{12}{11}$，$\frac{30}{11}$）、（$\frac{4}{3}$，2）、（$\frac{6}{7}$，$\frac{24}{7}$）或（2，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．