Question

已知二次函数y=x²+mx+m-5．
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点都在原点的左侧．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）当y=0时，根据b²-4ac恒＞0，可得方程有2个根，即可解题；
（2）根据韦达定理可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，根据x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0即可求得m的值，即可解题．

解答：解：（1）当y=0时，有x²+mx+m-5=0，
b²-4ac=m²-4m+20=m²-4m+16+4=（m-2）²+16＞0，
∴方程x²+mx+m-5=0有2个根，
∴不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）∵x₁+x₂=-

b

a

=-m，
x₁x₂=

c

a

=m-5，
∴当x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0时，抛物线与x轴两交点都在原点的左侧，
即-m＜0，m-5＞0，
即0＜m＜5时，抛物线与x轴两交点都在原点的左侧．

点评：本题考查了韦达定理的运用，考查了一元二次方程的求解，考查了一元一次不等式的求解，本题中根据韦达定理求解是解题的关键．