Question

如图，△ABC内交于⊙O，∠BAC与平分线交⊙O于点D，若∠BAC=120°．
①BC与BD满足什么数量关系？写出结论，并证明．
②AB，AC，AD之间满足什么数量关系？写出结论，并说明．
（最后一问要选择不同证明方法证明）．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠BDC=∠BCD=60°，即可解决问题．
（2）法①，如图，作辅助线，证明△ABC≌△MDC，得到AB=MD，即可解决问题；
法②，运用与法①类似的方法，即可解决问题．

解答：解：（1）BC=BD；证明如下：
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=60°；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠BCD=∠BAD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=60°，
∴BD=BC．
（2）法①，如图，在AD上截取AM=AC，连接MC；
∵∠MAC=60°，
∴△AMC是等边三角形，
∴∠AMC=60°，MC=AC；
∴∠DMC=120°；
在△ABC与△MDC中，

∠BAC=∠DMC ∠ABC=∠MDC AC=MC

，
∴△ABC≌△MDC（AAS），
∴AB=MD，AB+AC=DM+AM，
即AB+AC=AD．
法②，如图，延长BA到N，使AN=AC，连接NC；
类比法①，同理可证△ADC≌△NBC，
BN=AD，而BN=AB+AN=AB+AC，
即AB+AC=AD．

点评：该题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．