Question

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²-3m+4．
（1）探求m取不同值时，二次函数y的图象与x轴的交点个数．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x₁，0），（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）解方程x²-（2m-1）x+m²-3m+4=0，根据b²-4ac＞0，方程有2个根，b²-4ac=0，方程有一个根，b²-4ac＜0，方程没有根即可解题；
（2）根据韦达定理可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，根据x₁²+x₂²=5，即可求得m的值，即可求得点C和点M坐标，即可解题．

解答：解：（1）当y=0时，可得方程x²-（2m-1）x+m²-3m+4=0，
b²-4ac=（2m-1）²-4（m²-3m+4）=8m-15，
当8m-15＞0时，即m＞

15

8

时，方程有2个根，故二次函数y的图象与x轴的交点个数为2，
当8m-15=0时，即m=

15

8

时，方程有1个根，故二次函数y的图象与x轴的交点个数为1，
当8m-15＜0时，即m＜

15

8

时，方程有0个根，故二次函数y的图象与x轴的交点个数为0；
（2）∵x₁+x₂=-

b

a

=2m-1，x₁x₂=

c

a

=m²-3m+4，
∴x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x₁x₂=4m²-4m+1-2（m²-3m+4）=5，
化简得：m²+m-6=0，解得：m=-3或2，
∵m＞

15

8

，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，
∴顶点坐标为（

3

2

，-

1

4

），
∵x=0时，y=2，
∴点C坐标（0，2），
设直线CM解析式为y=kx+b，
代入C，M点得：y=-

3

2

x+2．

点评：本题考查了一元二次方程的求解，考查了韦达定理的运用，考查了抛物线与y轴交点的求解，考查了抛物线顶点的求解，本题中求得m的值是解题的关键．