Question

已知：如图，在平面直角坐标系 xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，B点的坐标为（2，1），抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，2），并且经过点A，对称轴为直线x=n．
（1）求这个抛物线的解析式，并判断点B是否在此抛物线上；
（2）作直线OB，过点B作直线BD交y轴于点D，使得AO=AD，直线m平行于y轴，分别交x轴、直线BD、抛物线于点P、M、N，设点P的横坐标为a（

1

2

＜a＜2），
①求直线BD的解析式；
②对称轴直线x=n上是否存在点E，使得△EMN为等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2，由题可知A（0，1），只需把点A的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）①易得点D的坐标为（0，2），只需运用待定系数法就可求出直线BD的解析式；
②可用a的代数式表示MN的长，然后分MN为等腰直角△EMN的直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据等腰直角三角形的性质得到MN的另一种表示方法，由此建立关于的a的方程，解出此方程，就可解决问题．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2，
由题可知：A（0，1），
∵点A在抛物线上，
∴a+2=1，
∴a=-1，
∴y=-（x-1）²+2=-x²+2x+1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+1．
当x=2时，y=-2²+2×2+1=1，
∴点B（2，1）在此抛物线上．

（2）①∵AD=AO=1，∴OD=2，
∴点D的坐标为（0，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则有

2k+b=1 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直线BD的解析式为y=-

1

2

x+2．
②由题可知x_M=x_N=x_P=a，
则有y_M=-

1

2

a+2，y_N=-a²+2a+1，
∵

1

2

＜a＜2，
∴MN=y_N-y_M=-a²+2a+1-（-

1

2

a+2）=-a²+

5

2

a-1．
Ⅰ．当MN为等腰直角△EMN的直角边时，
若

1

2

＜a≤1，如图1，

则有MN=1-a，
∴-a²+

5

2

a-1=1-a，
解得：a₁=

7+ 17

4

（舍去），a₂=

7- 17

4

．
若1＜a＜2，如图2，

则有MN=a-1，
∴-a²+

5

2

a-1=a-1，
解得：a₃=0（舍去），a₄=

3

2

．
Ⅱ．当MN为等腰直角△EMN的斜边时，
若

1

2

＜a≤1，如图3，

则有MN=2（1-a），
∴-a²+

5

2

a-1=2（1-a），
解得：a₅=

9+ 33

4

（舍去），a₆=

9- 33

4

．
若1＜a＜2，如图4，

则有MN=2（a-1），
∴-a²+

5

2

a-1=2（a-1），
解得：a₇=

1- 17

4

（舍去），a₈=

1+ 17

4

．
综上所述：满足要求的a的值为

7- 17

4

、

3

2

、

9- 33

4

、

1+ 17

4

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想是解决最后一小题的关键．