Question

【材料阅读】如图（1），已知点A、B是直线l同侧的两点，点P在直线l上，问点P在何处时，才能使PA+PB最小？
作法：以直线l为对称轴作点A的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，则点P为满足条件的点．
证明：在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．
∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上
∴PA=PA′，QA=QA′．
∵QA′+QB＞A′B，
∴QA+QB＞A′B
即QA+QB＞A′P+BP，
∴QA+QB＞AP+BP．
∴PA+PB最小．
【方法应用】如图（2），Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点D是斜边AC的中点．点P在AB上，则点P在何处时，才能使PC+PD最小？请在图（2）中画出点P的位置（保留痕迹，不要求证明），并直接写出PC+PD的最小值．
【问题解决】如图（3），已知∠ABC=45°，点O是∠ABC内一点，且OB=

2

．点M、N分别在AB和BC上，则点M、N分别在何处时，才能使OM+MN+NO最小？请在图（3）中画出点M、N的位置（保留痕迹，不要求证明），并直接写出OM+MN+NO的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理

专题：阅读型

分析：【方法应用】如图（2），延长CB至C′，使C′B=CB，连结C′D交AB于P，则点P为所求．利用勾股定理即可求解；
【问题解决】如图（3），分别作点O关于BA、BC的对称点O′、O′′，连结O′O′′交BA、BC于点M、N，则点M、N为所求．在Rt△O′BO′′中利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）画图正确．
延长CB至C′，使C′B=CB，连结C′D交AB于P，
则点P为所求．
PC+PD的最小值为

10

．
PC+PD最小值即为C′D的长，过D作DE⊥BC，
E为垂足，易知DE=BE=1，在Rt△DE C′中，
C′D=

C′E2+DE2

=

10

；
（2）画图正确．
分别作点O关于BA、BC的对称点O′、O′′，
连结O′O′′交BA、BC于点M、N，则点M、N为所求．
OM+MN+NO最小值为2．
OM+MN+NO最小值即为O′O′′的长，连结O′B、O′′B，
易知∠O′B O′′=90°，O′B=O′′B=OB=

2

，
在Rt△O′BO′′中，O′O′′=

O′B2+O″B2

=2．

点评：本题考查了轴对称，以及勾股定理，正确确定如何使线段的和最小是关键．