Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6

3

，AF=4

3

，求sinB的值．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ADF=∠CED和∠AFD=DCE，即可证明△ADF∽△DEC；
（2）根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得

AF

CD

=

AD

DE

，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=DCE，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AF

CD

=

AD

DE

，即

4 3

8

=

6 3

DE

，
∴DE=12，
∵在RT△ADE中，AE²=DE²-AD²，
∴AE=6，
∴sinB=

AE

AB

=

6

8

=

3

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了平行四边形对边平行且相等的性质，本题中求证△ADF∽△DEC是解题的关键．