Question

18．在锐角三角形ABC中，AC=100，tanA=1，tanC=2，求BC的长和△ABC的面积．

Answer 1

分析 根据题意可以画出相应的图形，由在锐角三角形ABC中，AC=100，tanA=1，tanC=2，可以求得AC的长，从而可以求得BC的长和△ABC的面积．

解答 解：根据题意，如下图所示：

作BD⊥AC于点D，则∠BDA=∠BDC=90°，
∵tanA=1，tanC=2，tanA=$\frac{BD}{AD}$，tanC=$\frac{BD}{CD}$，AC=AD+CD，AC=100，
∴BD=AD，BD=2CD．
∴AD+CD=3CD=AC=100．
∴CD=$\frac{100}{3}$，AD=$\frac{200}{3}$，BD=$\frac{200}{3}$，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{100\sqrt{5}}{3}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{AC×BD}{2}=\frac{100×\frac{200}{3}}{2}=\frac{10000}{3}$．
即BC的长为$\frac{100\sqrt{5}}{3}$，△ABC的面积是$\frac{10000}{3}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．