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【题目】已知抛物线yax2bxc经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3.(2)(1,2).(3)M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).

【解析】

试题分析:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.

(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.

(3)由于MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:MA=AC、MA=MC、AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.

试题解析:(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:

解得:

抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.

(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;

点A、B关于直线l对称,

PA=PB,

BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:

,解得:

直线BC的函数关系式y=-x+3;

当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).

(3)抛物线的对称轴为:x=-=1,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),则:

MA2=m2+4,MC2=(3-m)2+1=m2-6m+10,AC2=10;

若MA=MC,则MA2=MC2,得:

m2+4=m2-6m+10,得:m=1;

若MA=AC,则MA2=AC2,得:

m2+4=10,得:m=±

若MC=AC,则MC2=AC2,得:

m2-6m+10=10,得:m1=0,m2=6;

当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;

综上可知,符合条件的M点,且坐标为M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).

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