【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3.(2)(1,2).(3)M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).
【解析】
试题分析:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.
(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.
试题解析:(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:
∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.
(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;
∵点A、B关于直线l对称,
∴PA=PB,
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:
,解得:
∴直线BC的函数关系式y=-x+3;
当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).
(3)抛物线的对称轴为:x=-=1,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),则:
MA2=m2+4,MC2=(3-m)2+1=m2-6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2,得:
m2+4=m2-6m+10,得:m=1;
②若MA=AC,则MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:m=±;
③若MC=AC,则MC2=AC2,得:
m2-6m+10=10,得:m1=0,m2=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点,且坐标为M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).
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【题目】按下列程序计算,把答案填写在表格里,然后看看有什么规律,想想为什么会有
这个规律?
(1)填写表内空格:
输入 | 3 | 2 | -2 | … | |
输出答案 | 0 | … |
(2)你发现的规律是____________.
(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性.
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【题目】某班数学兴趣小组进行了如下探究:(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD交点为P,过点P作PQ⊥BC于点Q,连结DQ交AC于点P1,过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1,已知AB=CD=a,则PQ= ,P1Q1= .(用含a的代数式表示)
(2)如图②,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AC、BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q.已知AB=a,CD=b,请用含a、b的代数式表示线段PQ的长,写出你的解题过程.
(3)如图③,在直角坐标系xOy中,梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上(点B与原点O重合),AB∥CD,∠ABC=60°,AC、BD交于点P,过点P作PQ∥CD交BC于点Q,连结AQ交BD于点P1,过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1.连结AQ1交BD于点P2,过点P2作P2Q2∥CD交BC于点Q2,…,已知AB=a,CD=b,则点P1的纵坐标为 点Pn的纵坐标为 (直接用含a、b、n的代数式表示)
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【题目】下列说法不正确的是( )
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 正多形的各边都相等
C. 正三角形就是等边三角形
D. 各内角相等的多边形不一定是正多边形
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【题目】在△ABC和△A′B′C′中,有下列条件:①AB=A′B′;②BC=B′C′;③AC=A′C′;④∠A=∠A′;⑤∠B=∠B′;⑥∠C=∠C′,则以下各组条件中不能保证△ABC≌△A′B′C′的一组是( )
A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ②⑤⑥
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