Question

3．△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点O到BC的距离为3，圆的半径为5，则AB的长是2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：当三角形ABC为锐角三角形时，过A作AD垂直于BC，根据题意得到AD过圆心O，连接OB，在直角三角形OBD中，由OB与OD长，利用勾股定理求出BD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AB的长；当三角形ABC为钝角三角形时，同理求出AB的长，综上即可得到所有满足题意AB的长．

解答 解：分两种情况考虑：
当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO+OD=8，BD=4，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO-OD=2，BD=4，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
综上，AB=2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

点评 考查了垂径定理、勾股定理的应用，正确利用分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．