【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为D.下列结论:①2a+b=0;②2c<3b;③当m≠1时,a+b<am2+bm;④当△ABD是等腰直角三角形时,则a=;其中正确的有( )个.
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
根据二次函数图象与系数的关系,二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),可知二次函数的对称轴为x==1,可得2a与b的关系;将A、B两点代入可得c、b的关系;函数开口向下,x=1时取得最小值,则m≠1,可判断③;根据图象AD=BD,顶点坐标,判断④.
解:①∵二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).
∴二次函数的对称轴为x==1,即=1,
∴2a+b=0.
故①正确;
②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).
∴a-b+c=0,9a+3b+c=0.
又∵b=-2a.
∴3b=-6a,a-(-2a)+c=0.
∴3b=-6a,2c=-6a.
∴2c=3b.
故②错误;
③∵抛物线开口向上,对称轴是x=1.
∴x=1时,二次函数有最小值.
∴m≠1时,a+b+c<am2+bm+c.
即a+b<am2+bm.
故③正确;
④∵AD=BD,AB=4,△ABD是等腰直角三角形.
∴AD2+BD2=42.
解得,AD2=8.
设点D坐标为(1,y).
则[1-(-1)]2+y2=AD2.
解得y=±2.
∵点D在x轴下方.
∴点D为(1,-2).
∵二次函数的顶点D为(1,-2),过点A(-1,0).
设二次函数解析式为y=a(x-1)2-2.
∴0=a(-1-1)2-2.
解得a=.
故④正确;
故选:B.
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【题目】随着新能源汽车的发展,某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车,计划购买A型和B型新能源公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需300万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需270万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
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【题目】主题班会上,王老师出示了如图所示的一幅漫画,经过同学们的一番热议,达成以下四个观点:
A.放下自我,彼此尊重; B.放下利益,彼此平衡;
C.放下性格,彼此成就; D.合理竞争,合作双赢.
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况,小明绘制了下面两幅不完整的图表,请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
观点 | 频数 | 频率 |
A | a | 0.2 |
B | 12 | 0.24 |
C | 8 | b |
D | 20 | 0.4 |
(1)参加本次讨论的学生共有 人;表中a= ,b= ;
(2)在扇形统计图中,求D所在扇形的圆心角的度数;
(3)现准备从A,B,C,D四个观点中任选两个作为演讲主题,请用列表或画树状图的方法求选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率.
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【题目】我市城市绿化工程招标,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要60天,若由甲队先做20天,再由甲、乙合作12天,共完成总工作量的三分之二.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工l天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元,该工程由甲乙两队合作若干天后,再由乙队完成剩余工作,若要求完成此项工程的工程款不超过186万元,求甲、乙两队最多合作多少天?
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【题目】如图,将连续的奇数1,3,5,7…按如图中的方式排成一个数,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数中,四个分支上的数分别用a,b,c,d表示,如图所示.
(1)计算:若十字框的中间数为17,则a+b+c+d=______.
(2)发现:移动十字框,比较a+b+c+d与中间的数.猜想:十字框中a、b、c、d的和是中间的数的______;
(3)验证:设中间的数为x,写出a、b、c、d的和,验证猜想的正确性;
(4)应用:设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.
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【题目】如图,在△OAB中,OA=OB,C为AB中点,以O为圆心,OC长为半径作圆, AO与⊙O交于点E,直线OB与⊙O交于点F和D,连接EF.CF,CF与OA交于点G.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)求证:ODEG=OGEF;
(3)若AB=4BD,求sinA的值.
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【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:
已知:如图,直线 l 和直线 l 外一点 A
求作:直线 AP,使得 AP∥l
作法:如图
① 在直线 l 上任取一点 B,以点 A 为圆心,AB 为半径作圆,与直线 l 交于 B,C 两点.
② 连接 AC,AB,延长 BA 交⊙A 于点 D;
③ 作∠DAC 的平分线 AP,并反向延长.
所以直线 AP 就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB( ① )(填推理的依据)
∵∠DAC 是△ABC 的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP 平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴ ②
∴AP∥l( ③ )(填推理的依据)
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H,求BDcos∠HBD的值.
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