Question

【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:

已知:如图,直线 l 和直线 l 外一点 A

求作:直线 AP,使得 AP∥l

作法:如图

① 在直线 l 上任取一点 B，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l 交于 B，C 两点.

② 连接 AC,AB,延长 BA 交⊙A 于点 D;

③ 作∠DAC 的平分线 AP，并反向延长.

所以直线 AP 就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)

（2）完成下面的证明

证明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB( ① )(填推理的依据)

∵∠DAC 是△ABC 的外角,

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB

∴∠DAC=2∠ABC

∵AP 平分∠DAC,

∴∠DAC=2∠DAP

∴ ②

∴AP∥l( ③ )(填推理的依据)

Answer 1

【答案】（1）如图 见解析，（2）①等边对等角 ，②∠ABC=∠DAP ，③同位角相等，两直线平行.

【解析】

（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．

解：（1）如图所示，直线AP即为所求．

（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），
∴∠DAC=2∠ABC，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAP，
∴∠DAP=∠ABC，
∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），
故答案为：①等边对等角 ，②∠DAP =∠ABC ，③同位角相等，两直线平行．