Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．

(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的条件下，求的值；

(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析

【解析】

（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD＝CG，据此知CG＝BC＝BE＋CE，根据EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得证；

（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，据此可得答案；

（3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再证△AFH∽△DFG得，结合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF＝∠FGH，根据∠ADF＝90°即可得证．

解：(1)如图1，延长BC交AF的延长线于点G，

∵AD∥CG，

∴∠DAF=∠G，

又∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF=∠EAF，

∴∠G=∠EAF，

∴EA=EG，

∵点F为CD的中点，

∴CF=DF，

又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，

∴△ADF≌△GCF(AAS)，

∴AD=CG，

∴CG=BC=BE+CE，

∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，

解得b=3a，b=﹣a(舍)，

∴；

(3)如图2，连接DG，

∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，

∴△ADF≌△DCG(SAS)，

∴∠CDG=∠DAF，

∴∠HAF=∠FDG，

又∵∠AFH=∠DFG，

∴△AFH∽△DFG，

∴，

又∵∠AFD=∠HFG，

∴△ADF∽△HGF，

∴∠ADF=∠FGH，

∵∠ADF=90°，

∴∠FGH=90°，

∴AG⊥GH．