[题目]如图1.在Rt△ABC中.∠C﹦90°.AC﹦6.∠B﹦30°.动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动.同时动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒个单位长度的速度运动.当其中一点到达端点时.另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC.交A于点D.连接PQ．设运动时间为t秒(t ≥0)．(1)直接用含t的代数式分别表示QB.PD.BD的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交A于点D，连接PQ．设运动时间为t秒（t ≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示QB、PD、BD的长度：QB﹦ ；PD﹦ ；BD﹦ ．

（2）当t取何值时，若四边形PDBQ是平行四边形？

（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度；

（4）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．在整个运动过程中，线段PQ的中点M（x，y）会在一个固定的函数图像上运动．则

①该函数解析式为；②自变量x的取值范围是；③点M所经过的路径长等于．

【答案】（1）QB；PD；BD；（2）；（3）不存在，证明见解析； Q点速度为每秒个单位长度；（4）①；②；③6．

【解析】

（1）可用t表示出CQ、AP的长，由三角函数可得PD，AD的长，易得答案；

（2）由平行四边形的性质可得QB=DP，列方程求出t即可；

（3）当t=3时，求出BD=6≠DP，故不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，设点Q的速度为每秒v个单位长度，根据菱形的性质得到PD＝BD＝BQ，列方程求解即可；

（4）分析题意可知：点M的运动路径为一条线段，从AC中点运动到BC中点，用待定系数法可求出函数解析式并得到x的取值范围，由三角形中位线定理可求出M所经过的路径长.

解：（1）∵∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，

∴BC=，AB=12，

∴QB，

∵tanA=，

∴DP，AD=2t，

∴BD；

（2）若四边形PDBQ是平行四边形，则有QB=DP，

即，

解得：t=3；

（3）不存在；

证明：t=3时，四边形PDBQ是平行四边形，

此时BD=6≠DP，

∴不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ＝vt，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，

当PD＝BD时，即，

解得：t＝，

当PD＝BQ，t＝时，即，

解得：v＝

∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形PDBQ是菱形；

（4）∵点P从点A向点C运动，同时点Q从点C向点B运动，M是PQ的中点，

∴点M的运动路径为一条线段，从AC中点运动到BC中点，

①设函数解析式为y=kx+b，

将AC中点(3,0)，BC中点()代入解析式可得：，

解得：，

∴该函数解析式为；

②由题意可知：自变量x的取值范围是：；

③点M所经过的路径长.

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