我们知道.三角形的三条中线一定会交于一点.这一点就叫做三角形的重心．重心有很多“美妙的性质．如关于线段比.面积比就有一些“漂亮的结论.利用这些性质可以解决三角形的若干问题．请你利用重心的性质解决如下问题:如图.在△ABC中.∠ABC的平分线BE与边BC上的中线AD互相垂直且BE=AD=4(1)猜想AG与GD之间的数量关系.并说明理由,(2)求△ABC的三边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多“美妙”的性质．如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形的若干问题．请你利用重心的性质解决如下问题：
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与边BC上的中线AD互相垂直且BE=AD=4
（1）猜想AG与GD之间的数量关系，并说明理由；
（2）求△ABC的三边长．

分析（1）由ASA证明△ABG≌△DBG，得出对应边相等即可；
（2）作CF⊥AD交AD的延长线于F，则CF∥BE，求出△BDE的面积=4，得出△BCE的面积=8，△ABC的面积=12，得出△ADC的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=6，由△ADC的面积求出CF=3，由平行线的性质得出DF=GD=2，由勾股定理求出CD，得出BC、AB，由勾股定理求出AC即可．

解答解：（1）AG=GD；理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BE⊥AD，
∴∠AGB=∠DGB=90°，
在△ABG和△DBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠DBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\\{∠AGB=∠DGB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DBG（ASA），
∴AG=GD；
（2）作CF⊥AD交AD的延长线于F，如图所示：
则CF∥BE，
∵AG=GD=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴△BDE的面积=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∵D是BC的中点，
∴△BCE的面积=2△BDE的面积=8，
∵△ABE的面积=△BDE的面积，
∴△ABC的面积=4+8=12，
∴△ADC的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=6，
∵△ADC的面积=$\frac{1}{2}$AD•CF=6，
∴CF=3，
∵CF∥BE，BD=CD，
∴DF=GD=2，
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AF=6，
∴BC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AB=BD=CD=$\sqrt{13}$，
即△ABC的三边长为AB=$\sqrt{13}$，BC=2$\sqrt{13}$，AC=3$\sqrt{5}$．

点评本题考查了三角形的中线性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线运用三角形的面积关系才能得出结果．

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