Question

【题目】如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2π-

【解析】

（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF=90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠EAC，得到∠AEO=2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据扇形的面积公式得到S扇形AOE=π，求得S△AOE=AEOF=××3=，于是得到结论．

解：（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，
∴∠AFO=90°，
∴∠EAO+∠AOF=90°，
∵OA=OE，
∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，
∵∠EDA=∠AOE，
∴∠EDA=∠AOF，
∵∠EAC=∠EDA，
∴∠EAC=∠AOF，
∴∠EAO+∠EAC=90°，
∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，
∴∠CAO=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=AE=，

∴∠C=∠EAC，
∵∠EAC+∠C=∠AEO，
∴∠AEO=2∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠EAO=2∠EAC，
∵∠EAO+∠EAC=90°，
∴∠EAC=30°，∠EAO=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴OA=AE，∠EOA=60°，
∴OA=，

∴S扇形AOE==2π，
在Rt△OAF中，OF=OAsin∠EAO=×=3，
∴S△AOE=AEOF=××3=，

∴阴影部分的面积=2π-.