【题目】如图是由边长为的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,的顶点在格点.请选择适当的格点用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图,作关于直线的对称图形;
(2)如图,作的高;
(3)如图,作的中线;
(4)如图,在直线上作出一条长度为个单位长度的线段在的上方,使的值最小.
【答案】(1)图见解析;(2)图见解析;(3)图见解析;(4)图见解析
【解析】
(1)分别找到A、B、C关于直线l的对称点,连接、、即可;
(2)如解图2,连接CH,交AB于点D,利用SAS证出△ACB≌△CGH,从而得出∠BAC=∠HCG,然后利用等量代换即可求出∠CDB=90°;
(3)如解图3,连接CP交AB于点E,利用矩形的性质可得AE=BE;
(4)如解图4,找出点A关于l的对称点A1,设点A1正下方的格点为C,连接CB,交直线l于点N,设点B正上方的格点为D,连接A1D,交直线l于点M,连接AM,根据平行四边形的性质和两点之间线段最短即可推出此时MN即为所求.
解:(1)分别找到A、B、C关于直线l的对称点,连接、、,如图1所示,即为所求;
(2)如图2所示连接CH,交AB于点D,
在△ACB和△CGH中
∴△ACB≌△CGH
∴∠BAC=∠HCG
∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠HCG+∠ABC=90°
∴∠CDB=90°
∴CD为△ABC的高,故CD即为所求;
(3)如图3所示,连接CP交AB于点E
由图可知:四边形ACBP为矩形
∴AE=EB
∴CE为△ABC的中线,故CE即为所求;
(4)如图4所示,找出点A关于l的对称点A1,设点A1正下方的格点为C,连接CB,交直线l于点N,设点B正上方的格点为D,连接A1D,交直线l于点M,连接AM
根据对称性可知:AM=A1M
由图可知:A1C=BD=1个单位长度,A1C∥BD∥直线l
∴四边形A1CBD为平行四边形
∴A1D∥BC
∴四边形A1CNM和四边形MNBD均为平行四边形
∴A1M=CN,MN=BD=1个单位长度
∴AM=CN
∴AM+NB=CN+NB=CB,
根据两点之间线段最短,此时AM+NB最小,而MN=1个单位长度为固定值,
∴此时最小,故此时MN即为所求.
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【题目】先阅读下列材料,再解答下列问题:
题:分解因式:
解:将“”看成整体,设,则原式=
再将“”还原,得原式=.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你仿照上面的方法解答下列问题:
(1)因式分解: ; .
(2)因式分解: ; .
(3)求证:若为正整数,则式子的值一定是某一个正整数的平方.
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【题目】如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是__________
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【题目】如图,⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B,点 B 的坐标为(﹣,0),M 是圆上一点,∠BMO=120°.⊙C 圆心 C 的坐标是_____.
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的10×10网络中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),△ABC的三个顶点分别在网格的格点上
(1)请你在所给的网格中建立平面直角坐标系,使△ABC的顶点A的坐标为(-3,5);
(2)在(1)的坐标系中,直接写出△ABC其它两个顶点的坐标;
(3)在(1)的坐标系中,画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1 .
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【题目】已知抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A(2,0).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)若点B(m,n)是抛物线上的一动点,点B关于原点的对称点为C.
①若B、C都在抛物线上,求m的值;
②若点C在第四象限,当AC2的值最小时,求m的值.
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【题目】小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行,小玲开始跑步,然后改为步行,到达图书馆恰好用45min:小东骑自行车以300m/min的速度直接回家,两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.
(1)家与图书馆之间的路程为 m,小东从图书馆到家所用的时间为 .
(2)求小玲步行时y与x之间的函数关系式.
(3)求两人相遇的时间.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作已知角的角平分线.
已知:如图,∠BAC.求作:∠BAC的角平分线AP.
小霞的作法如下:
(1)如图,在平面内任取一点O;
(2)以点O为圆心,AO为半径作圆,交射线AB于点D,交射线AC于点E;
(3)连接DE,过点O作射线OP垂直于线段DE,交⊙O于点P;
(4)过点P作射线AP.
所以射线AP为所求.
老师说:“小霞的作法正确.”
请回答:小霞的作图依据是_____.
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