Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，M，N分别AB上的两动点，且∠MCN=45°，下列结论：①；②CM2﹣CN2=NBNA﹣MBMA；③AM2+BN2=MN2；④S△CAM+S△CBN=S△CMN，其中正确的有(　　)

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由勾股定理即可得；
②过点C作CD⊥AB于D，由等腰直角三角形性质可得AD=BD=CD，再由勾股定理即可得CM2-CN2=NBNA-MBMA；
③过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，可证：△CBM′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，再由勾股定理可得：M′B2+BN2=M′N2，即AM2+BN2=MN2；
④由全等三角形面积相等可知：S△CBM′=S△CAM，S△CNM′=S△MCN，即可得S△CAM+S△CBN＞S△MCN．

解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，

ABAC，

故①正确；

②如图1，过点C作CD⊥AB于D．

∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，

∴AD=BD=CD

CM2=CD2+MD2，CN2=CD2+DN2，

∴CM2﹣CN2=MD2﹣DN2=(MD+DN)(MD﹣DN)=MN(MD﹣DN)=MN(MB﹣NA)

∵NBNA﹣MBMA=NBNA﹣MB(NA﹣MN)

=MBMN+NBNA﹣MBNA

=MBMN﹣NA(MB﹣NB)

=MBMN﹣NAMN

=MN(MB﹣NA)，

∴CM2﹣CN2=NBNA﹣MBMA

故②正确；

③如图2，过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，则∠ABM′=90°

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠A=∠ABC=45°，

∴∠CBM′=45°=∠A

在△CBM′和△CAM中

，

∴△CBM′≌△CAM(SAS)，

∴CM′=CM ∠BCM′=∠ACM，

∴∠M′CN=∠BCM′+∠BCN=∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°=∠MCN

在△M′CN和△MCN中

，

∴△M′CN≌△MCN(SAS)，

∴M′N=MN

在Rt△M′BN中，∠M′BN=90°，M′B2+BN2= M′N2，

∴AM2+BN2=MN2

故③正确；

④如图2．

∵△CB M′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，

∴S△CBM′=S△CAM，S△CNM′span>=S△MCN，

∴S△CAM+S△CBN=S△CBM′+S△CBN=S△CNM′+S△BNM′=S△MCN+S△BNM′＞S△MCN，

故④错误．

故选：C．