Question

17．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC=90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF与△DFC全等；
②利用（1）中全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形；
③当AE=AD时，ADFE是菱形，可以用邻边相等的平行四边形是菱形判断即可；
④当∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形，由此即可判断；

解答 解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠CBA=∠FBE}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DC}\\{∠FEB=∠CDF}\\{EB=FD}\end{array}\right.$．
∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正确，
∴EB=DF，EF=DC．
∵△ACD和△ABE为等边三角形，
∴AD=DC，AE=BE，
∴AD=EF，AE=DF
∴四边形AEFD是平行四边形；故②正确，
若AB=AC，则AE=AD，四边形AEFD是菱形此，
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；故③正确
若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；
∴∠BAC=120°，四边形AEFD不是矩形；故④错误，
故选C．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．