Question

14．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴，y轴，分别交于A，B两点，点C是y轴上一点，沿直线AC折叠AB刚好落在x轴上AB₁处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求OC的长；
（3）在x轴上存在点P，使三角形PCA为等腰三角形，直接写出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由折叠的性质得到∠BAC=∠B₁AC，利用角平分线性质列出比例式，根据OB的长求出OC的长即可；
（3）在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，如图所示，分三种情况考虑：当AP=AC；当AP′=AC；当P″A=P″C，作AC的垂直平分线交OA于点P″，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=3，
则A（3，0），B（0，4）；
（2）在Rt△ABC中，OA=3，OB=4，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B₁AC，
∴OC：CB=AO：AB=3：5，
则OC=4×$\frac{3}{8}$=1.5；
（3）在Rt△OAC中，OA=3，OC=1.5，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+1．{5}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
如图所示，要使△PAC为等腰三角形，分三种情况考虑：
当AP=AC时，P坐标为（3-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）；
当AP′=AC时，P′坐标为（3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）；
当P″A=P″C时，作AC的垂直平分线交OA于点P″，
设OP″=x，根据勾股定理得：x²+1.5²=（3-x）²，
解得：x=$\frac{9}{8}$，即P″（$\frac{9}{8}$，0），
综上，点P的坐标为（3-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）或（3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{9}{8}$，0）或（-3，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，角平分线性质，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．