Question

已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交线段AE于F．
（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出CD、AF、BE三条线段之间的数量关系；
（2）如图2，若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若

AE

AD

=

m

n

，试探究CD、AF、BE三条线段之间的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）求出BE=

1

2

AB，证△ADF≌△EAB，推出AF=BE，即可得出答案．
（2）延长FA至G，使AG=BE，证△GAD≌△BEA，推出DG=AB，求出GD=GF，即可推出答案；
（3）延长EA至G，使

BE

AG

=

m

n

，连结DG，证△GAD∽△BEA，推出DG=

n

m

AB=

n

m

CD，同理可得GD=GF=AG+AF=

n

m

BE+AF，即可推出答案．

解答：解：（1）CD=AF+BE，
理由是：如图1，∵∠ADC=60°，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=30°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，AB=CD，
∵AE⊥BC，
∴∠DAF=∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°=∠ADF，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

CD，
在△ADF和△EAB中，

∠ADF=∠BAE AD=AE ∠DAF=∠AEB

，
∴△ADF≌△EAB（ASA），
∴AF=BE=

1

2

CD，
∴CD=AF+BE．

（2）结论仍然成立．
证明：如图2，延长FA至G，使AG=BE，
在△DAG和△AEB中，

AD=AE ∠GAD=∠AEB AG=BE

，
∴△DAG≌△AEB（SAS），
∴∠GDA=∠BAE，GD=AB=CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ADC=90°，
∴∠GDF=90°-∠CDF，
在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF，
∴∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD，
∴GD=AF+AG，
∴CD=AF+BE．
（3）CD=BE+

m

n

AF，
如图2，延长EA至G，使

BE

AG

=

m

n

，连结DG，
则

BE

AG

=

AE

AD

=

m

n

，∠AEB=∠DAG，
∴△ABE∽△DGA，
∴

AB

DG

=

m

n

，
∴DG=

n

m

AB=

n

m

CD；
同理（2）可得GD=GF=AG+AF=

n

m

BE+AF，
∴

n

m

CD=

n

m

BE+AF；
∴CD=BE+

m

n

AF．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．