Question

如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；运用面积公式列出等量关系，得到点O到DC的距离等于以AB为直径的⊙O的半径，问题即可解决．

解答：证明：如图，取AB的中点O，
过点O作OM⊥CD，连接OD、OC；
设梯形ABCD、△OAD、△OBC、
△OCD的面积分别为α、β、γ、θ；
则α=

1

2

(AD+BC)AB=

1

2

(AD+BC)×2OA，
∵AB=2OA（设OA为λ），AD+BC=CD，
∴α=λCD；
又∵β=

1

2

AD•λ，γ=

1

2

BC•λ，θ=

1

2

CD•OM，
且α=β+γ+θ，
∴λCD=

1

2

（AD+BC）λ+

1

2

CD•OM，
而AD+BC=CD，
∴2λ=λ+OM，
∴OM=λ，即点O到DC的距离等于以AB为直径的⊙O的半径，
∴以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切．

点评：该题主要考查了切线的判定及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活选用切线的判定方法；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．