Question

如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线性质求出AE=AF，推出Rt△AFD≌Rt△AEB，根据全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAD=60°，即可得出答案；
（2）求出CF的长，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出CF=CE=5，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，AD
∴AF=AE，∠AFD=∠AEB=90°，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，

AD=AB AF=AE

，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
∴∠ABE=∠FAD=60°，
∵∠AFD=90°，
∴∠ADC=∠FAD+∠AFD=150°；

（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
∴DF=BE=1，AF=AE=2，
∴CF=CD+DF=3+2=5，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACF=∠ACE，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AEC=90°，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，

AC=AC AF=AE

，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴CF=CE=5，
∴四边形AECD的面积S=S_△AEC+S_△ADC=

1

2

×CE×AE+

1

2

×CD×AF=

1

2

×5×2+

1

2

×3×2=8．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出Rt△AFD≌Rt△AEB和Rt△AFC≌Rt△AEC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．