Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD=BD，AC，BD相交于点E，AC⊥BD，垂足为E，过点E作EF∥AB，交AD于点F．
（1）AF与BE相等吗？为什么？
（2）AF²与AE•EC有怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答；
（2）因为AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，又因为AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性质即可解答．

解答：证明：（1）AF=BE，
理由是：∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB．
∴

DF

DA

=

DE

DB

．
又∵DA=DB，
∴DF=DE．
∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．

（2）AF²=AE•EC，
理由是：∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
又∵AC⊥BD，
∴△BCE∽△ABE．
∴

EB

EC

=

AE

EB

，即EB²=AE•EC．
又∵AF=EB，
∴AF²=AE•EC．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是根据平行和直角三角形的性质找出图中的相似三角形，利用相似三角形的性质解答此题．要知道，EB²=AE•EC属于射影定理．