Question

如图，AD为⊙O的直径，DE切⊙O于D，AE交⊙O于C，求证：AD²=AC•AE．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连结CD，如图，先根据圆周角定理，由AD为⊙O的直径得到∠ACD=90°，再根据切线的性质，由DE切⊙O于D得到∠ADE=90°，然后根据相似三角形的判定方法证明Rt△ACD∽Rt△ADE，利用相似的性质得

AC

AD

=

AD

AE

，再利用比例的性质即可得到结论．

解答：证明：连结CD，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵DE切⊙O于D，
∴AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠CAD=∠DAE，
∴Rt△ACD∽Rt△ADE，
∴

AC

AD

=

AD

AE

，
∴AD²=AC•AE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．