Question

已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好是AP：PB=n：1，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．

Answer 1

考点：两点间的距离

专题：

分析：由于点P的位置不能确定，故应分点P在线段AB上时，先根据比值求出AP，PB的长度，再根据中点定义求出PQ的长度，相加即可求出AQ的长度；当点P在线段AB的延长线上时，根据比值求出BP的长度，再根据中点定义求出BQ的长度，相加即可求出AQ的长度．

解答：解：如图1，点P在线段AB上时，
∵AB=m，AP：PB=n：1，
∴AP=

mn

n+1

，PB=

m

m+n

，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=

1

2

PB=

m

2(n+1)

，
∴AQ=AP+PQ=

mn

n+1

+

m

2(n+1)

=

m(2n+1)

2(n+1)

；
如图2，点P在线段AB的延长线上时，
∵AB=m，AP：PB=n：1，
∴

m+BP

BP

=

n

1

，
解得BP=

m

n-1

，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ=

1

2

BP=

m

2(n-1)

，
∴AQ=AB+BQ=m+

m

2(n-1)

=

m(2n-1)

2(n-1)

，
综上，线段AQ的长为

m(2n+1)

2(n+1)

或

m(2n-1)

2(n-1)

．

点评：本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．