Question

已知二次函数的图象的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，点A、C的坐标分别是（-1，0）、（0，

3

2

）．
（1）请在平面直角坐标系内画出示意图；
（2）求此图象所对应的函数关系式；
（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据对称性可求得B点坐标为（3，0），再根据描点法，可画出图象；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可求得解析式；
（3）根据题意AB不变，则当点P离x轴远则△ABP的面积越大，可知点P为顶点，可求得顶点坐标，再计算出△APB的面积即可．

解答：解：
（1）∵对称轴为x=1，A为（-1，0），
∴B为（3，0），
∴抛物线图象示意图如图所示：

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵图象过A、B、C三点，
∴把三点的坐标代入可得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3 2

，解得

a=- 1 2 b=1 c= 3 2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（3）根据题意可知当P为顶点时△ABP的面积最大，由（2）可求得其顶点坐标为（1，2），且AB=4，
∴S_△ABP=

1

2

×4×2=4，
即△ABP面积的最大值为4．

点评：本题主要考查待定每当法求函数解析式，掌握应用待定系数法的关键是点的坐标，在（3）中知道当P为顶点时△ABP的面积最大是关键．