Question

【题目】如图1，锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，F是AC上的点，且∠AFE=∠A，DM//EF交AC于点M．

（1）求证：DM=DA；

（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，

① 求证：△DEG∽△ECF；

② 从线段CE上取一点H，连接FH使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②1

【解析】

（1）根据平行线性质得∠AMD=∠AFE，可证∠AMD=∠A，得DM=DA；

（2）①根据三角形中位线性质得DE∥AC，证∠DEG=∠C，∠GDE=∠FEC，可证△DEG∽△ECF；

②证△BDG∽△BED，得，BD2=BGBE；证△EFH∽△ECF，得，EF2=EHEC，又可证四边形DEFM是平行四边形，故EF=DM=DA=BD，所以BGBE=EHEC，又BE=EC，故EH=BG．

解：（1）证明：如图1所示，

∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）①证明：如图2所示，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

②如图3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴，

∴BD2=BGBE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴，

∴EF2=EHEC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BGBE=EHEC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=1．