Question

【题目】如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为()．

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）设的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，的面积最大；

（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与相似？并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(6，0)，B(0，8)；（2） ，当t=3s时，取得最大值；（3）当t= s时，△APQ与△AOB相似．此时点Q的坐标为（，）．

【解析】

（1）分别令y=0,x=0求解即可得到点A、B的坐标

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可

（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解

解：（1）令y=0，则﹣ x+8=0，

解得x=6，

x=0时，y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴点Q到AP的距离为AQsin∠OAB=（10﹣t）× =（10﹣t），

∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20= ；

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

若∠AQP=90°，则cos∠OAB= ，

∴ = ，

解得t= ，

∵0＜t≤3，

∴t的值为 ，

此时，OP=6﹣2×=，

PQ=APtan∠OAB=（2×）×=，

∴点Q的坐标为（，），

综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（，）