Question

【题目】已知为正整数．

（1）证明：不能表示为两个以上连续整数的乘积；

（2）若能表示为两个连续整数的乘积，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）利用反证法，假设能表示为两个以上连续整数的乘积，则其能被3整除，分别将m=3k，3k+1，3k+2代入，求出余数即可证明；

（2）根据题意设，化简为关于m的一元二次方程，利用根的判别式得出n的可能取值，再根据m为正整数得到当n=3时成立，从而解出m=2.

解：（1）假设能表示为两个以上连续整数的乘积，则其能被3整除，

若，则，余数为2，

若，则，余数为1，

若，则，余数为2，

所以矛盾，假设不成立；

（2）∵，n为自然数，

展开并化简得：，

令△＜0，解得：n＞3.5，即n≥4，此时m无解，

当n=0时，△=4×72，

当n=1时，△=4×82，

当n=2时，△=4×74，

当n=3时，△=4×36，只有此时可得m为整数，

解得：m=2或（舍），

∴m的最大值为2.