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【题目】如图,O为矩形ABCD的对角线BD的中点,点EAD上,连接EBEOBD平分∠EBC,点FBE上,tanOFEtanABD,若AE=3EFCD=3,则OD的长为______

【答案】

【解析】

分别过点OOGEF于点GOMBC于点M,延长MOAD于点N,则MNAD,先由等角对对边证明BE=ED.然后根据角度的相互转化得出∠BEO=OFE,从而有EO=FO,再根据等腰三角形三线合一的性质得出EG=FG,设EG=FG=a,用含a的式子表示出AEBE的长,在RtABE中,利用勾股定理可得出关于a的方程,从而可得出a的值,进行可得出AD的长,最后在RtABD中,可求出BD的长,利用OD=BD即可得出结果.

解:分别过点OOGEF于点GOMBC于点M,延长MOAD于点N

∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=C=A=90°,AB=CD=3ADBC

∴∠DBC=EDBMNAD

BD平分∠EBC,∴∠EBD=DBC

∴∠EBD=EDB,∴BE=ED

OBD的中点,∴EOBD,∠BEO=DEO

设∠EBO=OBM=x,则∠ABD=90°-x

tanOFEtanABD

∴∠OFE=ABD=90°-x

EOBD,∴∠BEO=90°-EBO=90°-x

∴∠BEO=OFE,∴OF=OE,又OGEF,∴EG=FG

EG=FG=a,则EF=2a,∴AE=3EF=6a

EO平分∠BEDOGBEONED,∴OG=ON,又OE=OE

RtEGORtENO,∴EN=EG=a

AN=AE+EN=7a

OBD中点,NOAB,∴NAD的中点,∴ND=AN=7a

ED=EN+DN=8a=BE

RtABE中,由勾股定理得,AE2+AB2=BE2

6a2+32=8a2,解得a2=

AD2=4AN2=4×49a2=63

RtABD中,由勾股定理得,BD==

OD=BD=

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方差

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7

1.8

7

7

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