【题目】如图,O为矩形ABCD的对角线BD的中点,点E在AD上,连接EB、EO,BD平分∠EBC,点F在BE上,tan∠OFE=tan∠ABD,若AE=3EF,CD=3,则OD的长为______.
【答案】
【解析】
分别过点O作OG⊥EF于点G,OM⊥BC于点M,延长MO交AD于点N,则MN⊥AD,先由等角对对边证明BE=ED.然后根据角度的相互转化得出∠BEO=∠OFE,从而有EO=FO,再根据等腰三角形三线合一的性质得出EG=FG,设EG=FG=a,用含a的式子表示出AE,BE的长,在Rt△ABE中,利用勾股定理可得出关于a的方程,从而可得出a的值,进行可得出AD的长,最后在Rt△ABD中,可求出BD的长,利用OD=BD即可得出结果.
解:分别过点O作OG⊥EF于点G,OM⊥BC于点M,延长MO交AD于点N,
∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=∠C=∠A=90°,AB=CD=3,AD∥BC,
∴∠DBC=∠EDB,MN⊥AD,
∵BD平分∠EBC,∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,∴BE=ED,
又O为BD的中点,∴EO⊥BD,∠BEO=∠DEO.
设∠EBO=∠OBM=x,则∠ABD=90°-x,
又tan∠OFE=tan∠ABD,
∴∠OFE=∠ABD=90°-x.
又EO⊥BD,∴∠BEO=90°-∠EBO=90°-x,
∴∠BEO=∠OFE,∴OF=OE,又OG⊥EF,∴EG=FG.
设EG=FG=a,则EF=2a,∴AE=3EF=6a,
又EO平分∠BED,OG⊥BE,ON⊥ED,∴OG=ON,又OE=OE,
∴Rt△EGO≌Rt△ENO,∴EN=EG=a,
∴AN=AE+EN=7a,
∵O为BD中点,NO∥AB,∴N为AD的中点,∴ND=AN=7a,
∴ED=EN+DN=8a=BE,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE2+AB2=BE2,
(6a)2+32=(8a)2,解得a2=.
∴AD2=4AN2=4×49a2=63,
在Rt△ABD中,由勾股定理得,BD==,
∴OD=BD=.
故答案为:.
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【题目】一次安全知识测验中,学生得分均为整数,满分10分,成绩达到9分为优秀,这次测验中甲、乙两组学生人数相同,成绩如下统计图:
(1)在乙组学生成绩统计图中,8分所在的扇形的圆心角为___________度
(2)请补充完整下面的成绩统计分析表:
平均数 | 方差 | 众数 | 中位数 | 优秀率 | |
甲组 | 7 | 1.8 | 7 | 7 | |
乙组 | 1.36 |
(3)你认为那组成绩较好?从以上信息中写出两条支持你的选择
(4)从甲、乙两组得9分的学生中抽取两人参加市级比赛,求这两人来自不同组的概率
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,点D在BC上,且CD=3DB,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则tan∠BED的值是_____.
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【题目】如图,直线与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为().
(1)写出A、B两点的坐标;
(2)设的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式,并求出当t为何值时,的面积最大;
(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与相似?并直接写出此时点Q的坐标.
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【题目】已知反比例函数,在下列结论中,不正确的是( )
A.图象必经过点(4,)
B.图象过第一、三象限
C.若x<-1,则y>-6
D.点 、是图象上的两点, ,则
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【题目】△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为点D,交⊙O于点E,连接AE.
(1)如图1,求证:∠BAC=2∠CAE;
(2)如图2,射线AO交线段BD于点F,交BC边于点G,连接CE,求证:BF=CE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CO并延长,交线段BD于点H,交⊙O于点M,连接FM,交AB边于点N,若BH=DH,四边形BHOG的面积为5,求线段MN的长.
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【题目】学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t= 分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟,乙的速度为 米/分钟;
(2)图中点A的坐标为 ;
(3)求线段AB所直线的函数表达式;
(4)在整个过程中,何时两人相距400米?
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【题目】为全面贯彻党的教育方针,坚持“健康第一”的教育理念,促进学生健康成长,提高体质健康水平,成都市调整体育中考实施方案:分值增加至60,男1000米(女800米)必考,足球、篮球、排球“三选一”…,从2019年秋季新入学的七年级起开始实施.某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况,从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷,通过分析整理绘制了如下两幅统计图.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求参与调查的学生中,喜爱排球运动的学生人数,并补全条形图;
(2)若该中学七年级共有400名学生,请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名?
(3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生,确定为该校足球运动员的重点培养对象,请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率.
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