Question

【题目】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，AB=4,点D为AC上一动点，以BD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，则EF的最小值是______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边AC上的高时，直径BD最短，此时线段EF=2EH=2OEsin∠EOH=2OEsin45°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径BD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠ABC=45°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．

由垂线段的性质可知，当BD为△ABC的边BC上的高时，直径BD最短，

如图，

，

连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠BAC=60°，AB=4，

∴BD=6，即此时圆的直径为6，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠ABC=45°，

∴在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=3×=，

由垂径定理可知EF=2EH=3．

故答案为：3．