Question

17．如图，AD是△ABC的中线，∠CAD=60°，AD=4，AB-AC=2，则BC的长为2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，先通过证明△BAD≌△CED得出AB=EC，AD=ED；再设AC=a，则EC=AB=a+2，通过勾股定理以及特殊角的三角函数值表示出来CF，由CF相等得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出AC的长度；最后在Rt△CFD中由勾股定理求出CD的长度，由此得出结论．

解答 解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，如图所示．

∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，∠DCE=∠B，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△BAD和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠BAD}\\{BD=CD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CED（AAS），
∴AB=EC，AD=ED．
设AC=a，则EC=AB=a+2．
在Rt△AFC中，AC=a，∠CAF=60°，∠AFC=90°，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AF=$\frac{1}{2}$a，
∵AD=ED=4，EF=AE-AF，
∴EF=8-$\frac{1}{2}$a．
由勾股定理可得：CF²=CE²-EF²，
即$\frac{3}{4}{a}^{2}$=$（a+2）^{2}-（8-\frac{1}{2}a）^{2}$，
解得：a=5．
故AC=5，AF=$\frac{5}{2}$，CF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，FD=AD-AF=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理可得：CD²=CF²+FD²=21，
∴BC=2CD=2$\sqrt{21}$．
故答案为：2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、勾股定理以及特殊角的三角函数值，解题的关键是求出CF和DF的长度．本题属于中档题，难度不大，该题在两个直角三角形中分别表示CF，通过两个CF相等得出关于AC长度的一元二次方程，解方程得出AC的长度．解决该题型题目时，根据边角关系巧设未知数，列出方程是关键．