【题目】已知抛物线与轴交于A,B两点(A在B左边),与轴交于C点,顶点为P,OC=2AO.
(1)求与满足的关系式;
(2)直线AD//BC,与抛物线交于另一点D,△ADP的面积为,求的值;
(3)在(2)的条件下,过(1,-1)的直线与抛物线交于M、N两点,分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G,求OG长的最小值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)将抛物线解析式进行因式分解,可求出A点坐标,得到OA长度,再由C点坐标得到OC长度,然后利用OC=2AO建立等量关系即可得到关系式;
(2)利用待定系数法求出直线BC的k,根据平行可知AD直线的斜率k与BC相等,可求出直线AD解析式,与抛物线联立可求D点坐标,过P作PE⊥x轴交AD于点E,求出PE即可表示△ADP的面积,从而建立方程求解;
(3)为方便书写,可设抛物线解析式为:,设,,过点M的切线解析式为,两抛物线与切线联立,由可求k,得到M、N的坐标满足,将(1,-1)代入,推出G为直线上的一点,由垂线段最短,求出OG垂直于直线时的值即为最小值.
解:(1)
令y=0,,解得,
令x=0,则
∵, A在B左边
∴A点坐标为(-m,0),B点坐标为(4m,0),C点坐标为(0,-4am2)
∴AO=m,OC=4am2
∵OC=2AO
∴4am2=2m
∴
(2)∵
∴C点坐标为(0,-2m)
设BC直线为,代入B(4m,0),C(0,-2m)得
,解得
∵AD∥BC,
∴设直线AD为,代入A(-m,0)得,,
∴
∴直线AD为
直线AD与抛物线联立得,
,解得或
∴D点坐标为(5m,3m)
又∵
∴顶点P坐标为
如图,过P作PE⊥x轴交AD于点E,则E点横坐标为,代入直线AD得
∴PE=
∴S△ADP=
解得
∵m>0
∴
∴.
(3)在(2)的条件下,可设抛物线解析式为:,
设,,过点M的切线解析式为,
将抛物线与切线解析式联立得:
,整理得,
∵,
∴方程可整理为
∵只有一个交点,
∴
整理得即
解得
∴过M的切线为
同理可得过N的切线为
由此可知M、N的坐标满足
将代入整理得
将(1,-1)代入得
在(2)的条件下,抛物线解析式为,即
∴
整理得
∴G点坐标满足,即G为直线上的一点,
当OG垂直于直线时,OG最小,如图所示,
直线与x轴交点H(5,0),与y轴交点F(0,)
∴OH=5,OF=,FH=
∵
∴
∴OG的最小值为.
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【题目】如图,直线与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),△BEC面积记为S,S取何值时,对应的点E有且只有两个?
(3)直线x=2交直线BC于点M,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数y=x2+(a﹣3)x+3的图象与线段AB只有一个交点,则a的取值范围是_______________________.
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【题目】某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置,小车(不计大小)在房间内运动,当小车从AB之间经过时,将触发报警.现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中(如图),已知点A,B的坐标分别为(0,4),(4,4),小车沿抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)运动.若小车在运动过程中只触发一次报警装置,则a的取值范围是_____.
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【题目】如图1,点A在x轴的负半轴上,点B的坐标为(﹣2,﹣4),抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=﹣5,该抛物线经过点A、B,点E是AB与对称轴x=﹣5的交点.
(1)如图1,点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点,在对称轴x=﹣5上有一动点M,当△ABP的面积最大时,求|PM﹣OM|的最大值以及点P的坐标.
(2)如图2,把△ABO沿射线BA方向平移,得到△CDF,其中点C、D、F分别是点A、B、O的对应点,且点F与点O不重合,平移过程中,是否存在这样的点F,使得以点A、E、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是( )
A. x2+2x﹣4=0 B. x2﹣4x+4=0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x﹣5=0
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【题目】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,其中图①有3个小菱形,图②有7个小菱形,图③有13个小菱形……请根据排列规律完成下列问题:
(1)请写出图⑤中小菱形的个数;
(2)根据表中规律猜想,图中小菱形的个数与的关系式(不用说理);
(3)是否存在一个图形恰好由91个菱形组成?若存在,求出图形的序号;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE.记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2,( )
A. 若2AD>AB,则3S1>2S2 B. 若2AD>AB,则3S1<2S2
C. 若2AD<AB,则3S1>2S2 D. 若2AD<AB,则3S1<2S2
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【题目】如图,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象在第二象限内交于点A,过点A作AB⊥x轴于点B,OB=2.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)若点P是该反比例函数图象上一点,且△PAB的面积为4,求点P的坐标.
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