【题目】如图1,点A在x轴的负半轴上,点B的坐标为(﹣2,﹣4),抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=﹣5,该抛物线经过点A、B,点E是AB与对称轴x=﹣5的交点.
(1)如图1,点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点,在对称轴x=﹣5上有一动点M,当△ABP的面积最大时,求|PM﹣OM|的最大值以及点P的坐标.
(2)如图2,把△ABO沿射线BA方向平移,得到△CDF,其中点C、D、F分别是点A、B、O的对应点,且点F与点O不重合,平移过程中,是否存在这样的点F,使得以点A、E、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)|PM﹣OM|的最大值=2;P(﹣6,﹣6);(2)存在,点F的坐标为:(﹣,)或(﹣5,)或(﹣11,)或(﹣14,7).
【解析】
(1)△ABP的面积S=×PH×(xB﹣xA)=(﹣x﹣5﹣x2﹣x)×(10﹣2)=﹣x2﹣12x﹣20,此时点P(-6,-6),点P关于抛物线对称轴的对称点Q(-4,-6),连接OQ交函数对称轴于点M,则点M为所求,即可求解;
(2)直线AB的表达式为:y=-x-5,当x=-5时,y=-,即点E(-5,-),则设图线向上平移m个单位,则向左平移2m个单位,故点F(-2m,m),而点A(-10,0),即可求解.
(1)函数的对称轴为x=﹣5,则点A(﹣10,0),
则函数表达式为:y=ax(x+10),将点B的坐标代入上式并解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2+x,
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线AB的表达式为:y=﹣x﹣5,
过点P作x轴的垂线交AB于点H,设点P(x,x2+x)、点H(x,﹣x﹣5),
△ABP的面积S=×PH×(xB﹣xA)=(﹣x﹣5﹣x2﹣x)×(10﹣2)=﹣x2﹣12x﹣20,
∵﹣1<0,故当x=﹣6时,S有最大值,此时点P(﹣6,﹣6),
点P关于抛物线对称轴的对称点Q(﹣4,﹣6),连接OQ交函数对称轴于点M,则点M为所求,
同理:直线OQ的表达式为:y=x,当x=﹣5时,y=﹣,即点M(﹣5,﹣);
|PM﹣OM|的最大值=OQ==2;
(2)直线AB的表达式为:y=﹣x﹣5,当x=﹣5时,y=﹣,即点E(﹣5,﹣),
则设图线向上平移m个单位,则向左平移2m个单位,
故点F(﹣2m,m),而点A(﹣10,0),
则AF2=(10﹣2m)2+m2,EF2=(2m﹣5)2+(m+)2,AE2=25+;
①当AF=EF时,则(10﹣2m)2+m2=(2m﹣5)2+(m+)2,解得:m=;
②当AF=AE时,同理可得:m=﹣5或﹣11;
③当EF=AE时,同理可得:m=0(舍去)或7;
综上点F的坐标为:(﹣,)或(﹣5,)或(﹣11,)或(﹣14,7).
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【题目】如图,二次函数的图像与坐标轴交于点A(1, 0)和点C.经过点A的直线与二次函数图像交于另一点B,点B与点C关于二次函数图像的对称轴对称.
(1)求一次函数表达式;
(2)点P在二次函数图像的对称轴上,当△ACP的周长最小时,请求出点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于两点,与轴交于点,其顶点为,连接,过点作轴的垂线.
(1)求点的坐标;
(2)直线上是否存在点,使的面积等于的面积的3倍?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(4,3),B(3,1),C(1,2),△A1B1C1与△ABC关于原点对称.
(1)写出A1,B1,C1的坐标;
(2)在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C1;
(3)若点A(4,3)与点M(a﹣2,b﹣4)关于原点对称,求关于x的方程的解.
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【题目】已知抛物线与轴交于A,B两点(A在B左边),与轴交于C点,顶点为P,OC=2AO.
(1)求与满足的关系式;
(2)直线AD//BC,与抛物线交于另一点D,△ADP的面积为,求的值;
(3)在(2)的条件下,过(1,-1)的直线与抛物线交于M、N两点,分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G,求OG长的最小值.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使kx+b<成立的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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