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【题目】如图1,点Ax轴的负半轴上,点B的坐标为(﹣2,﹣4),抛物线yax2+bx的对称轴为x=﹣5,该抛物线经过点AB,点EAB与对称轴x=﹣5的交点.

1)如图1,点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点,在对称轴x=﹣5上有一动点M,当△ABP的面积最大时,求|PMOM|的最大值以及点P的坐标.

2)如图2,把△ABO沿射线BA方向平移,得到△CDF,其中点CDF分别是点ABO的对应点,且点F与点O不重合,平移过程中,是否存在这样的点F,使得以点AEF为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点F的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1|PMOM|的最大值=2P(﹣6,﹣6);(2)存在,点F的坐标为:(﹣)或(﹣5)或(﹣11)或(﹣147).

【解析】

1)△ABP的面积S×PH×xBxA)=(﹣x5x2x×102)=﹣x212x20,此时点P-6-6),点P关于抛物线对称轴的对称点Q-4-6),连接OQ交函数对称轴于点M,则点M为所求,即可求解;

2)直线AB的表达式为:y=-x-5,当x=-5时,y=-,即点E-5-),则设图线向上平移m个单位,则向左平移2m个单位,故点F-2mm),而点A-100),即可求解.

1)函数的对称轴为x=﹣5,则点A(﹣100),

则函数表达式为:yaxx+10),将点B的坐标代入上式并解得:a

故抛物线的表达式为:yx2+x

将点AB的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线AB的表达式为:y=﹣x5

过点Px轴的垂线交AB于点H,设点Pxx2+x)、点Hx,﹣x5),

ABP的面积S×PH×(xBxA)=(﹣x5x2x)×(102)=﹣x212x20

∵﹣10,故当x=﹣6时,S有最大值,此时点P(﹣6,﹣6),

P关于抛物线对称轴的对称点Q(﹣4,﹣6),连接OQ交函数对称轴于点M,则点M为所求,

同理:直线OQ的表达式为:yx,当x=﹣5时,y=﹣,即点M(﹣5,﹣);

|PMOM|的最大值=OQ2

2)直线AB的表达式为:y=﹣x5,当x=﹣5时,y=﹣,即点E(﹣5,﹣),

则设图线向上平移m个单位,则向左平移2m个单位,

故点F(﹣2mm),而点A(﹣100),

AF2=(102m2+m2EF2=(2m52+m+2AE225+

AFEF时,则(102m2+m2=(2m52+m+2,解得:m

AFAE时,同理可得:m=﹣5或﹣11

EFAE时,同理可得:m0(舍去)或7

综上点F的坐标为:(﹣)或(﹣5,)或(﹣11,)或(﹣14,7).

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