Question

【题目】如图，等边△ABC中，点D在AC上（CD＜AC），连接BD．操作：以A为圆心，AD长为半径画弧，交BD于点E，连接AE．

（1）请补全图形，探究∠BAE、∠CBD之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）把BD绕点D顺时针旋转60°，交AE于点F，若EF＝mAF，求的值（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）图形见解析，∠BAE＝2∠CBD，理由见解析；（2），理由见解析

【解析】

（1）根据圆周角和圆心角的关系得：2∠BDH=∠BAE，由等腰三角形的性质得HD∥BC，由平行线的性质可得结论；
（2）如图2，作辅助线，由旋转得：△BDM是等边三角形，证明△AMB≌△CDB（SAS），得AM=CD，∠MAB=∠C=60°，证明△ABD∽△DFE，设AF=a，列比例式可得结论

（1）如图1，∠BAE＝2∠CBD．

设弧DE与AB交于H，连接DH，

∴2∠BDH＝∠BAE，

又∵AD＝AH，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠AHD＝∠ABC，

∴HD∥BC，

∴∠DBC＝∠HDB，

∴∠BAE＝2∠DBC；

（2）如图2，连接AM，BM，

由旋转得：BD＝DM，∠BDM＝60°，

∴△BDM是等边三角形，

∴BM＝BD，∠MBD＝60°，

∵∠ABM+∠ABD＝∠ABD+∠CBD，

∴∠ABM＝∠CBD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

∴△AMB≌△CDB（SAS），

∴AM＝CD，∠MAB＝∠C＝60°，

∵∠AGM＝∠BGD，∠MAB＝∠BDM＝60°，

∴∠AMD＝∠ABD，

由（1）知：AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠EDF＝∠BAD，

∴△ABD∽△DFE，

∴∠EFD＝∠ABD＝∠AFM＝∠AMD，

∴AF＝AM＝CD，

设AF＝a，则EF＝ma，AE＝a+ma＝（m+1）a，

∴AB＝AD+CD＝AE+CD＝（m+2）a，

由△ABD∽△DFE，

∴＝＝．