Question

【题目】如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，试求的长；

（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；

（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；

（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．

解：（1） 连结，如图：

∵是的直径

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵在圆上

∴是的切线．

（2）设

∵

∴

∴

∵在中，

∴

∴

∴

∵

∴

∴

连结，过作于点，如图：

∵点是的中点

∴

∴设

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∵，

∴

∴

∴．

故答案是：（1）证明见解析（2）（3）