Question

【题目】已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则

线段BM、DN和MN之间的数量关系是______；

当绕点A旋转到时如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

当绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）（2）猜想：，详见解析；（3）详见解析.

【解析】

(1)连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；

(2)在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；

(3)在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN．

如图1，连接AC，交MN于点G，

四边形ABCD为正方形，

，且，

，且AC平分，

，且，

，

，即，

，

在和中

，

≌，

，同理可得，

，

故答案为：；

猜想：，证明如下：

如图2，在MB的延长线上，截取，连接AE，

在和中，

，

≌，

，，

，，

，

，

，

在和中

，

≌，

，

又，

；

，证明如下：

如图3，在DC上截取，连接AF，

和中，

，

≌，

，，

，即，

，

，

在和中

，

≌，

，

，

．