Question

【题目】如图1，已知直线EF//GH，且EF和GH之间的距离为1，小明同学制作了一个直角三角形硬纸板ACB，其中∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1．小明利用这块三角板进行了如下的操作探究：

（1）如图1，若点C在直线EF上，且∠ACE=20°，求∠1的度数；

（2）若点A在直线EF上，点C在EF和GH之间(不含EF、GH上)，边BC、AB与直线GH分别交于点D和点K．

①如图2，∠AKD、∠CDK的平分线交于点O．在△ABC绕着点A旋转的过程中，∠O的度数是否变化？若不变，求出∠O的度数：若变化，请说明理由；

②如图3，在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠EAK=n°，∠CDK=(4m-3n-10)°，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）∠1＝70°；（2）①∠O的度数不发生变化，∠O＝75°；②70°＜m＜115°．

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠1的度数；

（2）①先根据四边形的内角和得∠AKD＋∠CDK＝360°90°60°＝210°，由角平分线的定义和三角形的内角和可得结论；

②先根据①的结论，结合平行线的性质得：n＝2m110，确认点C边界上两点时，n的取值，代入n＝2m110，可得结论．

解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ACE＝20°，

∴∠ECB＝90°20°＝70°，

∵EF∥GH，

∴∠1＝∠ECB＝70°；

（2）①在△ABC绕着点A旋转的过程中，∠O的度数不发生变化，

理由是：如图2，∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠AKD＋∠CDK＝360°90°60°＝210°，

∵∠AKD、∠CDK的平分线交于点O，

∴∠OKD＝∠AKD，∠ODK＝∠CDK，

∴∠OKD＋∠ODK＝105°，

∴∠O＝180°105°＝75°；

②∵EF∥GH，

∴∠EAK＝∠AKD＝n°，

由①知：∠AKD＋∠CDK＝210°，

∴n＋4m3n10＝210，

n＝2m110，

如图3，点C在直线EF上时，∠EAK＝n＝180°60°＝120°，

如图4，∵AC＝1，且EF和GH之间的距离为1，

∴点C在直线GH上时，∠EAK＝n＝90°60°＝30°，

∵点C在EF和GH之间（不含EF、GH上），

∴30°＜n＜120°，即30＜2m110＜120，

∴m的取值范围是：70°＜m＜115°．