Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由．

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求解．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法同上．

（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）解：结论：DE=AD-BE．
理由：如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）解：结论：DE=BE-AD．
理由如下：如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．